Question

设函数（a，b∈R，a＞0）的定义域为R，当x=x₁时，取得极大值；当x=x₂时取得极小值，|x₁|＜2且|x₁-x₂|=4．
（1）求证：x₁x₂＞0；
（2）求证：（b-1）²=16a²+4a；
（3）求实数b的取值范围．

Answer

（1）利用导数的性质，转换成二次函数的形式即可．
（2）利用（1）的二次函数，通过韦达定理，求出x1+x2=．进而证明题设
（3）分0＜x＜2和-2＜x＜0两种情况，最后取并集．
（1）证明：f′（x）=ax2+（b-1）x+1，
由题意，f′（x）=ax2+（b-1）x+1=0的两根为x1，x2
∴．
（2）
∴（b-1）2=16a2+4a．
（3）①若0＜x1＜2，则
∴4a+1＜2（1-b），从而（4a+1）2＜4（1-b）2=4（16a2+4a）
解得或（舍）
∴，得．
②若-2＜x1＜0，则
∴4a+1＜2（b-1），从而（4a+1）2＜4（1-b）2=4（16a2+4a）
解得或（舍）
∴，∴
综上可得，b的取值范围是