Question

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer

（Ⅰ）根据a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，能够举出一个前五项不为零的“绝对差数列”．
（Ⅱ）由绝对差数列{an}中a20=3，a21=0，利用an=|an-1-an-2|，知该数列自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以an不存在．．
（Ⅲ）根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项．再由反证法进行证明{an}必有零项．若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，由此知绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项．
【解析】
（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{an}中a20=3，a21=0．所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0，a22=3，a22=3，a24=0，a25=3，a26=3，a27=o，
即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，an的极限不存在．
当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6，
所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项．证明如下：
假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，
所以对于任意的n，都有an≥1，从而
当an-1＞an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1（n≥3）；
当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1（n≥3）
即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1．
令n=1，2，3，，
则0＜CA≤Cn-1-1（n=2，3，4，）．
由于C1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C1＜0，这与Cn＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
从而{an}必有零项．
若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A（A≠0），
则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项．