Question

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N），试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N），求数列{a_n}的通项公式．
（3）（理）对（2）中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

Answer

（1）先根据定义可得△an=an+1-an，把an=n2+n代入整理，根据等差及等比数列的定义判断{△an}是否为等差数列或等比数列，同理可判断{△2an}是否为等差或等比数列．
（2）根据题中的定义可把已知转化为△an+1-△an-△an+1+an=-2n，整理可得an+1=2an+2n，利用递推关系及a1=1计算a2，a3，a4，然后进行猜想an，再利用数学归纳法进行证明
（3）结合组合数的性质：1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1）=n•2n-1，
进行求解
【解析】
（1）△an=an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2，
∴{△an}是首项为4，公差为2的等差数列．△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列；
也是首项为2，公比为1的等比数列．
（2）∵△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n，
即△an-an=2n，∴an+1=2an+2n，∵a1=1，
∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23，猜想：an=n•2n-1，
证明：ⅰ）当n=1时，a1=1=1×2；ⅱ）假设n=k时，ak=k•2k-1；
n=k+1时，ak+1=2ak+2k=k•2k+2k=（k+1）•2（k+1）-1结论也成立，
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an=n•2n-1．
（3）b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an，即b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n•2n-1，
∵1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1）=n•2n-1，
∴存在等差数列{bn}，bn=n，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立．