Question

已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x）的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．
．

Answer

（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．
（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．
【解析】
（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），
则由题意知，，
∴a=2，b=1，
∴C的标准方程为．
∴C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，
因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．
设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组及，解得，
设MN与x轴的交战为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，
∵xE2-4yE2=4，
∴
=
=．