Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：D点为棱BB₁的中点；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求的值．

Answer

（1）利用同一性证明，先作出AC中点F，DE⊥A1C于E点，再证明出EF=BD，EF平行且等于AA1，从而得出BD=BB1即可．
（2）方法一作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60度建立方程，求出比值．
方法二建立空间坐标系，将两线段的长度转化为坐标，求出两个平面的法向量，利用夹角公式建立方程求出两线段长度之间的比值．
证明：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，∴DE⊥面AA1C1C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：
DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，
又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，
又点F是AC的中点，所以，所以D点为棱BB1的中点．（6分）

（2）（法一）∵面AA1B1B⊥面ABC，面ABC∩面AA1B1B=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥面AA1DB，延长A1D交AB的延长线于点M，过B作BH⊥A1D交A1D于点H，连接CH，则CH⊥A1D，
∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角，且∠CHB=60°，（9分）
设A1A=2b，AB=BC=a，由①易知BD=b，BM=a，
则，
∴，
∴，
∴（12分）

（法二）建立如图所示直角坐标系，
设AA1=2b，AB=BC=a，
则D（0，0，b），A1（a，0，2b），C（0，a，0），
所以，（8分）
设面DA1C的法向量为，则
可取又
可取平面AA1DB的法向量，

==（10分）
据题意有：，
解得：所以（12分）