根据f(2+x)=-f(x+1)=f(x)可断定函数f(x)为周期函数,故可知③正确;根据f(x)为奇函数,可知函数关于原点对称
根据周期性及f(1+x)=-f(x)可知函数关于(k,0)对称,排除①;根据f(1+x)=-f(x)可推知f(x+)=f(-x)进而推知f(x)的图象关于直线对称;f(x)在区间(-1,0)上和在(0,1)上均为单调函数,但在(-1,1)不是单调函数,故④不正确.
【解析】
f(2+x)=-f(x+1)=f(x),
∴函数是以2为周期的周期函数,故③是正确的.
∵f(x)为定义域为R的奇函数,
∴f(x)函数图象关于原点对称,
∵f(x)为周期函数,周期为2且f(1+x)=-f(x),
∴f(x)函数图象关于点(k,0)(k∈Z)对称,故①不对.
∵f(1+x)=-f(x)
∴f(x+)=f(x-+1)=-f(x-)=f(-x)
∴f(x)的图象关于直线对称,故②正确.
f(x)在区间(-1,0)上和在(0,1)上均为单调函数,但在(-1,1)不是单调函数,故④不正确.