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已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009...

已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.
(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;
(Ⅱ)若ak=0,bk=1600且数列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009,的前项n和Sn满足S2009=2012Sk+9045,求{an}的通项公式.
(1)要求d2的最小值,我们可根据am2=bm+2009-2009,数列{an},{bn}分别以d1,d2为公差的等差数列及a1=1,b2009=409.我们可以将d2构造为关于m的函数,由于m为正整数,故可以用基本不等式求出d2的最小值. (2)由已知中ak=0,bk=1600且数列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009,的前项n和Sn满足S2009=2012Sk+9045,我们可以得到一个关于k的方程,解方程求出K值后,易得数列{an}的公差,代入即可求出{an}的通项公式 证明:(Ⅰ)∵am2=bm+2009-2009, ∴[a1+(m-1)d1]2=b2009+md2-2009, 即m2=409+md2-2009, ∴. 等号当且仅当, 即m=40时成立, 故m=40时,[d2]min=80. 【解析】 (Ⅱ)∵ak=0,bk=1600,a1=1,b2009=409 ∴S2009=(a1+a2+…+ak-1)+(bk+bk+1+…+b2009) = =, ∵S2009=2012Sk+9045 == ∴= ∴4020k=2009×2010-18090, ∴2k=2009-9, ∴k=1000 故得a1000=0,又a1=1,∴, ∴. 因此{an}的通项公式为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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