Question

设a＞0，函数f（x）=，b为常数．
（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

Answer

（1）令f′（x）=0得到ax2+2bx-a=0根据根的判别式得到方程有两个不相等的实根设为x1，x2（x1＜x2），讨论函数的增减性得到函数的极大值和极小值各有一个；
（2）因为函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，所以将x1，x2（x1＜x2）代入到函数关系式中得到两个式子，根据根与系数的关系化简可得a的值．
【解析】
（1）证明f′（x）=，
令f′（x）=0，得ax2+2bx-a=0（*）
∵△=4b2+4a2＞0，
∴方程（*）有两个不相等的实根，记为x1，x2（x1＜x2），
则f′（x）=，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

可见，f（x）的极大值点和极小值点各有一个．
（2）【解析】
由（1）得即

两个方程左右两边相加，得a（x1+x2）+2b=x22-x12．
∵x1+x2=-，∴x22-x12=0，
即（x2+x1）（x2-x1）=0，
又x1＜x2，
∴x1+x2=0，从而b=0，
∴a（x2-1）=0，得x1=-1，x2=1，代入得a=2．