Question

已知抛物线y=x²和三个点M（x，y）、P（0，y）、N（-x，y）（y≠x²，y＞0），过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F．
（1）证明E、F、N三点共线；
（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出A，B，E，F的坐标，进而可表示出直线AB的方程，把点M代入，整理可得到y的表达式，进而把直线AP的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出xF和yF，xE和yE，将y的表达式代入得y=y，判断出N点在直线EF上．
（2）已知A、B、M、N共线，可分别表示出A，B的坐标和以AB为直径的圆的方程，与抛物线方程联立求得y和y的关系要使圆与抛物线有异于A，B的交点判断y-1≥0，进而可推断出存在y≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T且yT=y-1进而求得交点T到AB的距离．
（1）证明：设A（x1，x12）、B（x2，x22），E（xE，yE）、F（xF，yF）
则直线AB的方程：
即：y=（x1+x2）x-x1x2
因M（x，y）在AB上，所以y=（x1+x2）x-x1x2①
又直线AP方程：
由得：
所以
同理，
所以直线EF的方程：
令x=-x得
将①代入上式得y=y，即N点在直线EF上
所以E，F，N三点共线
（2）【解析】
由已知A、B、M、N共线，所以
以AB为直径的圆的方程：x2+（y-y）2=y
由得y2-（2y-1）y+y2-y=0
所以y=y（舍去），y=y-1
要使圆与抛物线有异于A，B的交点，则y-1≥0
所以存在y≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T（xT，yT）
则yT=y-1，所以交点T到AB的距离为y-yT=y-（y-1）=1