Question

已知函数．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e-ax．
（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e-2x，f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，
解得x1=，x2=．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

f（x）在（-∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（，）为减函数．
（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．
（ⅱ）当a＞2时，取x=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x）＜f（0）=1
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e-ax≥1，得f（x）=e-ax≥＞1．
综上当且仅当a∈（-∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．