Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N₊时．

Answer

（I）①求f′（x）②解不等式f′（x）＞0得单增区间③f′（x）＜0得单调递减区间
（II）①f'（1）=0，得a=0  f（x）=x-lnx，
②f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0，
③【0.5，2]上有两根则f（x）两次穿过x轴：g（0.5）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0可解b范围（III）由（I）和（II）可知a=0，x∈[0.5，+∞） f（x）≥f（1），即lnx≤x-1
∴x＞1时，lnx＜x-1令x=1+得ln（1+）＜，
∴n≥2，加以变形便有所求证明
【解析】
（Ⅰ）由已知由函数f（x）的定义域为x＞-a，，
∵-a＜-a+1，
∴由f'（x）＞0，得x＞-a+1，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜-a+1，
所以函数f（x）的减区间为（-a，-a+1），增区间为（-a+1，+∞）．（4分）

（II）由题意，得f'（1）=0，
∴a=0．（5分）
∴由（Ⅰ）知f（x）=x-lnx，
∴f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，
∴x2-3x+lnx+b=0，
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），
则g'（x）=2x-3+
当变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：（6分）
∵方程f（x）+2x=x2+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，
∴，∴，
∴+ln2≤b＜2，即．（8分）

（III）由（I）和（II）可知当时，f（x）≥f（1），
即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．（10分）
令（n≥2，n∈N*），
则．
所以当n≥2，n∈N*时，
，
即，
∴．（12分）