Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为为参数，α为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+17=0．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）当时，设P（1，0），若直线l与曲线C有两个交点是A，B，求|PA||PB|的值；并求|AB|的长．

Answer

（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为普通方程，直线l的参数方程代入圆的方程化简后记作①，因为直线l与曲线C有公共点，所以得到①中方程的△大于等于0列出关于cosα的关系式，求出不等式的解集即可得到cosα的范围，根据α为直线l的倾斜角得到α的范围，利用余弦函数的图象及特殊角的三角函数值即可求出α的范围；
（Ⅱ）设出A和B对应的参数分别为t1，t2，由①知当α等于时，将①化为关于t的一元二次方程，利用韦达定理即可求出|AB|的长和|PA||PB|的值．
【解析】
（Ⅰ）圆的普通方程为x2-10x+y2+17=0，
将直线l的参数方程代入得：t2-8tcosα+8=0，①．
△=（8cosα）2-32≥0，
∴又α为直线l的倾斜角，
∴或，
所以；
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由①知当时，
将①化为，，
，
|PA||PB|=|t1•t2|=8．