Question

设篮球队A与B进行比赛，若有一队先胜4场则宣告比赛结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都为0.5．试求需要比赛场数的平均值．

Answer

由题意知比赛场数ξ的可能取值是4、5、6、7，若4场结束，只有两种情况；若5场结束，且A胜出，则A负2场，A所负一场不可能是第5场，只可能是前4场中某一场，共有4种情况；若B胜出，亦有4种情况．若6场结束，且A胜出，则A负2场，共有10种情况；若7场结束，且A胜出，则A负3场，共有20种情况，列出分布列，得到期望．
【解析】
由题意知比赛场数ξ的可能取值是4、5、6、7
若4场结束，只有两种情况：A四场连胜或连负，每种情况发生的概率是
∴总概率为；
若5场结束，且A胜出，则A只负1场，A所负一场不可能是第5场，只可能是前4场中某一场，共有4种情况；
同样，若B胜出，亦有4种情况．
每种情况发生的概率是，总概率为；
若6场结束，且A胜出，则A负2场，共有10种情况，
若B胜出，亦有10种情况．
每种情况发生的概率是总概率为；
若7场结束，且A胜出，则A负3场，共有20种情况，
若B胜出，亦有20种情况．
每种情况发生的概率是，总概率为．
∴比赛场次的数学期望=4×=
即Eξ=．