Question

已知椭圆C：的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题设条件知：PF1|+|PF2|=2a=4，所以椭圆C1：．设C2：，由相似比为2可求出椭圆C2的方程．（2）由题设条件知，设点Q（x，y），由题设条件能推出，
由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上．
（3）椭圆C1：，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：．由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2），然后利用根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）椭圆的一个焦点为，|PF1|+|PF2|=2a=4，所以椭圆C1：
设C2：，相似比为2，a2=4；b2=2，所以椭圆C2：
（2）点P（m，n）在椭圆上，则，设点Q（x，y）（7分），
所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
（3）椭圆C1：，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：（11分）
由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2）△=64m2-16×5×（m2-b2）＞0⇒5b2＞m2（13分）
由韦达定理知：，E（x，y）在直线y=x+1上，则，所以（15分）
此时正方形的边长为，所以正方形的面积为
所以