Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有；

（III）设数列{b_n}的前n项和为R_n．已知正实数λ满足：对任意正整数nR_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件能导出an+1-an=5an+1，即，所以，∴．
（Ⅱ）由，知=，当n=1时，；当n≥2时，
．
（Ⅲ）由知Rn=b1+b2+…+b2k+1==＞4n-1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=5a1+1，∴
又∵an=5an+1，an+1=5an+1+1
∴an+1-an=5an+1，即
∴数列an成等比数列，其首项，公比是
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
=
又，∴
当n=1时，
当n≥2时，
=
，故所证结论成立

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知Rn≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N+）
则Rn=b1+b2+…+b2k+1
=
=
＞4n-1
∴λn≥Rn＞4n-1，即（λ-4）n＞-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴λ≥4否则，（λ-4）n＞-1只对满足的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有Rn≤4n
事实上，对任意的正整数k，有

=
=
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N+）
则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）
＜8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N+）
则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-3+b2n-2）+b2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴对一切的正整数n，都有Rn≤4n
综上所述，正实数λ的最小值为4