Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x，y），由中点坐标公式，分别求得x，y，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程．
（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．
【解析】
（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x，y），
由得
由，点P在椭圆上，得，
∴线段PA中点M的轨迹方程是．
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，
因此△ABC的面积S△ABC=1．
当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入，
解得B（，），C（-，-），
则，又点A到直线BC的距离d=，
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=-时，等号成立．
∴S△ABC的最大值是．