Question

已知椭圆C：=1的两个焦点的坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P在椭圆上，=0且△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和△PF₁F₂的外接圆D的方程；
（Ⅱ）A为椭圆C的左顶点，过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，且M、N均不在x轴上，设直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer

（Ⅰ）根据焦点的坐标可求得c，进而根据三角形的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆C的方程，利用推断出两直线垂直，求得P的坐标，则Rt△PF2F1的外接圆D的方程可求得．
（Ⅱ）先看当直线的斜率不存在时，求得M，N则两直线的斜率可得，求得K1K2的值；再看斜率存在时，设出直线的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，代入到K1K2中，最后综合答案可得．
【解析】
（Ⅰ）由已知得，c=1，2a+2=6，所以a=2，c=1
又a2=b2+c2，所以，椭圆C的方程为
因为，所以，可求得P或P，
所以Rt△PF2F1的外接圆D的方程是或．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）得M，N，
可得，，所以．
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，显然k≠0，
则直线l的方程为y=k（x-1），
设点M（x1，y1），N（x2，y2）将y=k（x-1）代入方程，
并化简得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
可得：x1，，
所以==
综上，．