Question

某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p₁，寿命为2年以上的概率为p₂．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p₁=0.8，p₂=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．

Answer

（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率和需要更换2只灯泡的概率．
（II）由题意知在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件，包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式，得到结果．
（III）由题意知，至少需要更换4只灯泡包括需要环4只，需要换5只，根据独立重复试验的概率公式写出结果．
【解析】
因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．
所以寿命为1～2年的概率应为p1-p2．其分布列为：

（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p15，需要更换2只灯泡的概率为C52p13（1-p1）2；
（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：
①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1-p2．
故所求的概率为p3=（1-p1）2+p1-p2．
（III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（1-p1）2+（p1-p2）=0.54．
在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：
①换5只的概率为p35=0.545=0.046；
②换4只的概率为C51p34（1-p3）=5×0.544（1-0.54）=0.196，
故至少换4只灯泡的概率为：p4=0.046+0.196=0.242．
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242．