Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

Answer

（I）由中位线定理得到B1C∥MD，再由线面平行的判定理理得到B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）先证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1求再由线面垂直的判定理得到B1C1⊥平面ABB1A1．
（Ⅰ）证明：如图，连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，
连接MD，D又为AC的中点，
∴B1C∥MD．
又B1C不包含于平面A1BD，MD⊂平面A1BD，B1C∥平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B1B∴四边形ABB1A1为正方形
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1，
又在直棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）