Question

设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，n∈N^*，其中c为实数
（1）证明：a_n∈[0，1]对任意n∈N^*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设，证明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N^*；
（3）设，证明：．

Answer

（1）先证明必要性：a2∈[0，1]⇒c∈[0，1]，再证明充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1]．
（2）设，当n=1时，a1=0，结论成立．当n≥2时，an=can-13+1-c，1-an=c（1-an-1）（1+an-1+an-12），所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0，由此能够导出an≥1-（3c）n-1（n∈N*）．
（3）设，当n=1时，，结论成立．当n≥2时，an2≥（1-（3c）n-1）2=1-2（3c）n-1+（3c）2（n-1）＞1-2（3c）n-1，所以．
【解析】
（1）必要性：∵a1=0，∴a2=1-c，
又∵a2∈[0，1]，∴0≤1-c≤1，即c∈[0，1]
充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1]
当n=1时，a1=0∈[0，1]．假设ak∈[0，1]（k≥1）
则ak+1=cak3+1-c≤c+1-c=1，且ak+1=cak3+1-c≥1-c=≥0
∴ak+1∈[0，1]，由数学归纳法知an∈[0，1]对所有n∈N*成立

（2）设，当n=1时，a1=0，结论成立，
当n≥2时，∵an=can-13+1-c，
∴1-an=c（1-an-1）（1+an-1+an-12）
∵，由（1）知an-1∈[0，1]，所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0
∴1-an≤3c（1-an-1）
∴1-an≤3c（1-an-1）≤（3c）2（1-an-2）≤≤（3c）n-1（1-a1）=（3c）n-1
∴an≥1-（3c）n-1（n∈N*）
（3）设，当n=1时，，结论成立
当n≥2时，由（2）知an≥1-（3c）n-1＞0
∴an2≥（1-（3c）n-1）2=1-2（3c）n-1+（3c）2（n-1）＞1-2（3c）n-1
∴a12+a22++an2=a22++an2＞n-1-2[3c+（3c）2++（3c）n-1]
=