Question

已知a是实数，函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer

（Ⅰ）求出函数的定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数的单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数的单调区间即可．
（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令-6≤g（a）≤-2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出a的取值范围即可．
解；（Ⅰ）【解析】
函数的定义域为[0，+∞），（x＞0）．
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．
（Ⅱ）【解析】
（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以．
综上所述，改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得．故a的取值范围为．