Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1．
（1）求证：E，B，F，D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC₁B₁；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tanθ．

Answer

（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面．
（2）在正方体中，易知AB⊥面BCC1B1，所以欲证EM⊥面BCC1B1，可以先证AB∥EM；或者也可以从平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去证明，那么我们一开始就需要算出BM的长度．
（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角．
【解析】
（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又
BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；

（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，
所以，即，所以MB=1，因为AE=1，
所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1
，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1；

（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，
所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，
∠EMH=90°，所以，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，
所以3：MH=BF：1，BF=，
所以MH=，所以=．