Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，记S_n为数列{b_n}的前n项和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整数），求证：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

Answer

（1）设{an}的公差为d，由a1=b1，把bk=am代入a1qk-1=a1，进而可表示出Sk-1，题设得证．
（2）利用）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），进而可得q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，整理即可求得q=i-2，进而可判定i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可．
（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设n-m=x，p-n=y，进而可得以2=，令x=1，y=2，求得q．
【解析】
设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）
（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以
（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，
所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）
现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，，所以m=2+q+q2+qn-2，若i=1，则q=-1，那么b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+）与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等，从而结论成立．
（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有
2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=，令x=1，y=2，则q3-2q+1=0，（q-1）（q2+q-1）=0，因为q≠1，所以q2+q-1=0，所以，即存在使得{bn}中有三项bm，bm+1，bm+3（m∈N+）成等差数列．