Question

已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．

Answer

【解析】
（1）不妨设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．进而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．
（2）由（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．而方程f（x）=0即为x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即为x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②最后按方程的类型，分（ⅰ）当c=0时，b≠0，（ⅱ）当c≠0，b=0（ⅲ）当c≠0，b≠0讨论．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，将函数的系数都用c表示：f（x）=bx2+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）-cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠两种情况，用判别式判断求解．
【解析】
（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由题意及（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．
由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx2+cx=x（bx+c），
则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②
（ⅰ）当c=0时，b≠0，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅱ）当c≠0，b=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅲ）当c≠0，b≠0时，方程①的根为x1=0，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根．
由题意，方程b2x2+bcx+c=0无实数根，此方程根的判别式△=（bc）2-4b2c＜0，得0＜c＜4．
综上所述，所求c的取值范围为[0，4）．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，f（x）=bx2+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）-cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
当c=0时，符合题意．
当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）-cf（x）+c=0④的根，
因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当（-c）2-4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）-cf（x）+c＞0，符合题意．
当（-c）2-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得，
即，⑤
则方程⑤应无实数根，
所以有且．
当c＜0时，只需，解得，矛盾，舍去．
当c≥4时，只需，解得．
因此，．
综上所述，所求c的取值范围为．