Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
（1）求证：FH∥平面EDB；
（2）求证：AC⊥平面EDB；
（3）求二面角B-DE-C的大小．

Answer

（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；
（2）因为四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，从而求解．
（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．
证明：（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，
∴GH∥AB且GH=AB，又EF∥AB且EF=AB，∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFHG为平行四边形
∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB．
（2）由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC
∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，
又FH∥EG，∴AC⊥EG
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB，
（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则
∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，
设EF=1，则AB=2，FC=，DE=，
又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，
∴sin∠EDC=sin∠KEF=，
∴FK=EFsin∠KEF=，
tan∠FKB==，
∴∠FKB=60°，
∴二面角B-DE-C为60°．