Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃，并猜想a_n关于n的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由点A1（a1，0）得到等边三角形的边长为a1根据等边三角形的性质得P1的坐标为（，）代入到y2=3x中求出即可得到a1，然后同理求出a2和a3，然后猜想an=n（n+1）（n∈N*）；
（Ⅱ）把猜想的通项公式代入到bn中化简得到通项公式，利用bn+1-bn得到小于0，所以数列为递减数列，所以当m∈[-1，1]时，不等式恒成立只需要求出bn的最大值，即可求出t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由点A1（a1，0）得到第一个等边三角形的边长为a1，
根据等边三角形的性质得P1的坐标为（，）
代入到y2=3x中a12=a1，解得a1=2；
又因为点A2（a2，0），所以得第二个等边三角形的边长为a2-2，
则P2的坐标为（，）代入到y2=3x中解得a2=6；
因为A3（a3，0），所以第三个等边三角形的边长为a3-6，
则P3的坐标为（，）代入到y2=3x中解得a3=12．
所以a1=2，a2=6，a3=12；
猜想：an=n（n+1）（n∈N*）．

（Ⅱ）
=
=．
N*）
即bn+1＜bn，所以数列{bn}是递减数列．
所以，当n=1时，．
（∀n∈N*，∀m∈[-1，1]），
即t2-2mt＞0（∀m∈[-1，1]）
解之得，实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．