Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．
（1）证明：E是BC的中点；
（2）证明：AD•AC=AE•AF．

Answer

（1）欲证明E是BC的中点，即证EB=EC，即要证ED=EC，这个可通过证明∠CDE=∠C得到；
（2）因由相似三角形可得：AB2=AE•AF，AB2=AD•AC，故欲证AD•AC=AE•AF，只要由AB=AB得到即可．
证明：（Ⅰ）证明：连接BD，
因为AB为⊙O的直径，
所以BD⊥AC，又∠B=90°，
所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，
因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
所以∠CDE=∠C，
得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点
（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，
可得△ABE∽△AAFB，
于是有，即AB2=AE•AF，
同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF