Question

已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

Answer

（1）由f（2）=2+=2+求解a．
（2）先设点P的坐标为（x，y），则有y=x+，x＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．
（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．
【解析】
（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．
（2）设点P的坐标为（x，y），则有y=x+，x＞0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴kPM•1=-1，即=-1．解得t=（x+y）．
又y=x+，∴t=x+．
∴S△OPM=+，S△OPN=x2+．
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x2+）+≥1+．
当且仅当x=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．