Question

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

Answer

本题首先设出小正方形的边长为x，则长方体的长宽都为4-2x，体积等于长×宽×高，求出体积的导数，令其等于零得出最大容积．第二问主要对题意理解清楚，说的是材料有所浪费，想到在两个角切去小正方形，去下的小正方形焊到对边上组成新的长方体体积比原来的大．
【解析】
（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，
∴V1=（4-2x）2•x=4（x3-4x2+4x）（0＜x＜2）．
∴V1′=4（3x2-8x+4）．
令V1′=0，得x1=，x2=2（舍去）．
而V1′=12（x-）（x-2），
又当x＜时，V1′＞0；当＜x＜2时，V1′＜0，
∴当x=时，V1取最大值．
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器．
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1．
故第二种方案符合要求．