Question

已知函数f（x）=4^x+m•2^x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer

方程（2x）2+m•2x+1=0仅有一个实根，设2x=t（t＞0），则t2+mt+1=0有且只有一个正实数根，考虑应用判别式，
分判别式大于0和等于0两种情况．
【解析】
∵f（x）=4x+m•2x+1有且仅有一个零点，即方程（2x）2+m•2x+1=0仅有一个实根．
设2x=t（t＞0），则t2+mt+1=0．
当△=0，即m2-4=0，∴m=-2时，t=1．当m=2时，t=-1不合题意，舍去．
∴2x=1，x=0符合题意．
当△＞0，即m＞2或m＜-2时，
关于t的方程t2+mt+1=0应有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾，∴这种情况不可能．
综上可知：m=-2时，ƒ（x）有唯一零点，该零点为x=0．