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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的定义域为R,它的图象关于原点对...

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的定义域为R,它的图象关于原点对称,且当x=-1时,函数取极值1.
(1)求a,b,c的值;
(2)求证:曲线y=f(x)上不存在两个不同的点A、B,使过A、B两点的切线都垂直于直线AB.
(1)通过图象关于原点对称求出b的值,再根据当x=-1时,函数取极值1,建立两个方程组,解之即可; (2)由过A、B两点的切线都垂直于直线AB可知两切线平行,根据切线与AB垂直建立等量关系,验证判别式是否大于零即可. 【解析】 (1)由已知,f(-x)=-f(x),即bx2=0恒成立, 故b=0.所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c. 由得, 解得. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2), 由,过A、B两点的切线平行,故f′(x1)=f′(x2), 得:x12=x22.由于x1≠x2,所以x1=-x2, 于是y1=-y2,.因为过A点的切线垂直于直线AB, 所以,△=-12<0,方程无解. 因此,不存在两个不同的点A、B,使过A、B的切线都垂直于直线AB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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