Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的大小．

Answer

（Ⅰ）要证平面ACC1A1⊥平面B1C1CB，只需证明平面ACC1A1内的直线AC，垂直平面B1C1CB内的两条相交直线B1M，BC即可；
法一：（Ⅱ）连接B1C，说明B1C是直线AB1在平面B1C1CB上的射影，证明B1C⊥BC1即可证明BC1⊥AB1；
（Ⅲ）过点B作BH⊥AB1交AB1于点H，连接C1H，说明∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角，解三角形BHC1求二面角B-AB1-C1的大小．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．（Ⅱ）求出，计算，即可证明BC1⊥AB1；
（Ⅲ）求出平面ABB1的法向量为n1，平面AB1C1的法向量为n2，通过求出二面角的大小．
（Ⅰ）证明：设BC的中点为M．
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，
∴B1M⊥平面ABC．（1分）∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC．（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵B1M∩BC=M，
∴AC⊥平面B1C1CB．（4分）
∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．（5分）
解法一：（Ⅱ）连接B1C，∵AC⊥平面B1C1CB，
∴B1C是直线AB1在平面B1C1CB上的射影．（5分）
∵BC=CC1，∴四边形B1C1CB是菱形．
∴B1C⊥BC1．（7分）∴AB1⊥BC1；（9分）

（Ⅲ）过点B作BH⊥AB1交AB1于点H，连接C1H．
∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BHC1．
∴AB1⊥C1H．∴∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角．（11分）
设BC=2，则BC=CA=AA1=2，∵B1M⊥BC，BM=MC，
∴B1C=B1B=2．∴BB1=B1C=BC=2．∴∠B1BC=60°．
∴∠BCC1=120°．∴．∵AC⊥平面BC1，B1C⊂平面BC1，
∴AC⊥B1C．∴．
在△BB1A中，可求．
∵B1B=B1C1，B1H=B1H，∴Rt△BB1H≌Rt△C1B1H．
∴．
∴．（13分）
∴．
∴二面角B-AB1-C1的大小为．（14分）

解法二：（Ⅱ）因为点B1在底面ABC上的射影是BC的中点，
设BC的中点为O，则B1M⊥平面ABC．以O为原点，
过O平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
OB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC=CA=AA1=1，由题意可知，
．
设C1（x，y，z），由，得
（7分）∴．
又．
∴．
∴AB1⊥BC1；（9分）

（Ⅲ）设平面ABB1的法向量为n1=（x1，y1，1）．
则
∴
∴．
设平面AB1C1的法向量为n2=（x2，y2，1）．则
∴∴．（12分）
∴．（13分）
∴二面角B-AB1-C1的大小为．（14分）