Question

设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer

（1）根据导数的几何意义求出f（x）=g'（x），再根据-2、4是方程f（x）=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，得到函数g（x）在区间[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立关于a和b的约束条件，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，从而求出a2+b2的最小值．
【解析】
（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，∴，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足即可，也即
而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当时，a2+b2有最小值13．（14分）