Question

已知函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-4]∪[4，+∞）
B．[1，+∞）
C．[2，+∞）
D．[4，+∞）

Answer

根据函数零点与对应方程根之间的关系，我们可将f（x）存在零点转化为方程log2（a-2x）=2-x有根，结合对数方程和指数方程的解法，我们可将他转化为一个二次方程根的存在性总是，再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理，我们易构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．
【解析】
若f（x）存在零点，
则方程log2（a-2x）=2-x有根
即22-x=a-2x有根，
令2x=t（t＞0）
则原方程等价于=a-t有正根
即t2-at+4=0有正根，
根据根与系数的关系t1t2=4＞0，
即若方程有正根，必有两正根，
故有
∴a≥4．
故选D