Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}前100项的和S₁₀₀．

Answer

（1）根据an+1和an的关系式，当n≤3时，数列{an}是等差数列，当n≥4时，数列{an}是等比数列，据此课求出数列{an}的通项公式，
（2）首先写出{nan}前100项的和的表达式，观察表达式的结构形式，把表达式各项乘以2，然后减去原先的表达式，进而进行等比数列求和．
【解析】
（1）根据题意，
当n≤3时，an+1=an+1，
∴数列{an}是等差数列，
∴an=n（n≤3），
当n≥4时，an+1=2an，
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n-4（n≥4）
∴，
（2）S100=a1+2a2+3a3+4a4+5a5++100a100
=1+2×2+3×3+4×22+5×23++100×298
设T=4×22+5×23+6×24++99×297+100×298①
2T=4×23+5×24++99×298+100×299②
由①-②得：-T=4×22+23+24++298-100×299
=24+-100×299
=-99×299+8∴T=99×299-8；
∴S100=99×299+6．