Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在原点，且两曲线的焦点均在x轴上，若A（1，2），B（2，0），中有两点在椭圆C₁上，另一点在抛物线C₂上．
（I）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₁交于M，N两点，与抛物线C₂交于P，Q两点．问是否存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以线段PQ为直径的圆都过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）抛物线方程为y2=2px，椭圆方程为，根据抛物线顶点在原点断定B点必不在抛物线上，进而可把B代入椭圆方程求得a；把A和C点分别代入椭圆方程求得b（注意验证b是否符合），进而通过另一个点求得p，答案可得．
（II）设直线l：x=my+n，将x=my+n代入椭圆方程消去x后，根据△＞0得出m和n的关系式，设M（x1，y1），N（x2，y2），由OM⊥ON得，x1x2+y!y2=0，进而得到m和n的另一个关系式，将代入x=my+n根据△＞0得m2+n＞0再由OP⊥OQ得得n2-4n=0联立方程求得m和n，最后经验证m和n都符合题意，进而可得结论．
【解析】
（I）设抛物线方程为y2=2px，椭圆方程为
∵抛物线顶点在原点
∴B点不可能在抛物线上，则在椭圆上代入椭圆方程得
，解得a=2
如果c点在椭圆上，代入椭圆方程得，解得b=1符合题意
则椭圆的方程为
∴点A必在抛物线上，代入抛物线方程得2p=4
∴p=2
∴抛物线方程为：y2=4x．

（II）若存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以PQ为直径的圆都过原点，
设直线l：x=my+n，将x=my+n代入椭圆，并整理得，（m2+4）y2+2mny+n2-4=0，
△1=4m2n2-4（m2+4）（n2-4）＞0，即m2-n2+4＞0；=1 ①
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
由OM⊥ON得，x1x2+y!y2=0，即（m2+1）y!y2+mn（y1+y2）+n2=0，
∴，得5n2-4m2-4=0；②
将代入x=my+n，得，△2=m2+n＞0，③
设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=4m，y3y4=-4n，
由OP⊥OQ得，x3x4+y3y4=0，即（m2+1）y3y4+mn（y3+y4）+n2=0，
∴（m2+1）（-4n）+mn•4m+n2=0，得n2-4n=0；
显然n≠0，∴n=4，代入②得：；
经检验，n=4都适合 ①③式．
所以存在直线使得以线段MN为直径和以PQ为直径的圆都过原点．