Question

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

Answer

利用函数的奇偶性和f （x-2）=-f （x），可以得出函数的周期为4，然后结合-1≤x≤1时，f （x）=x3，得到函数在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）3，利用导数的几何意义求得f （x）在处得切线的斜率，即可求得其切线方程．结合函数的奇偶性，周期性就可得到其图象的对称轴．
【解析】
∵f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4为周期的周期函数．①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵当-1≤x≤1时，f （x）=x3，
∴f（2-x）=（2-x）3=-f（x）∴f （x）=（2-x）3  ②对
∴f'（x）=-3（2-x）2∴f'（）=-=k
又∵=（2-）3=∴f （x）在处的切线方程为：y-=（x-）即：3x+4y-5=0．③对
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函数图象的一条对称轴为x=-1，又∵f（x）为奇函数，其图象关于y轴对称 
∴f （x）的图象的对称轴中，有x=1，故④对．
故选D．