Question

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C为45°，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证AP⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AP与平面BDE内两相交直线垂直，而BD⊥AP，AP⊥DE，BD∩DE=D，满足定理的条件；
（Ⅱ）根据二面角平面角的定义可知∠PBC为二面角P-AB-C的平面角，作EH⊥AC于H，以D为原点DB，DC所在直线分别为X轴Y轴，平面ABC的垂线为Z轴建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面BEF的法向量为和平面ABC的法向量，然后求出两法向量之间的夹角的余弦值即可求得平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明∵PC⊥底面ABC
∴PC⊥BD，又AB=BC，D为AC中点
∴BD⊥A
∴BD⊥平面ACP
∵AP⊂平面ACP
∴BD⊥AP，又AP⊥DE，BD∩DE=D∴AP⊥平面BDE．

（Ⅱ）∵AB⊥BC，BC为PB在平面ABC上的射影
∴PB⊥AB，∴∠PBC为二面角P-AB-C的平面角∴∠PBC=45°
∵AB=BC=2∴PC=2，AC=
∵DE⊥AP∴DE=
作EH⊥AC于H，则EH=DEsin∠EDH=DEsin∠APC=
∴DH=（6分）
以D为原点DB，DC所在直线分别为X轴Y轴，平面ABC的垂线为Z轴建立空间直角坐标系D-xyz可得
B（，0，0），E（0，，），F（0，，1）．=（，，），=（，，1）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z）则且
可取=（-3，1，）
取平面ABC的法向量=（0，0，1）则cos＜，＞=
∴平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值为（12分）