Question

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知a2=2b2，再由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，知=b，由此可求出椭圆C1的方程．
（Ⅱ）由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，由此可求出点M的轨迹C2的方程．
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2），联立及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
【解析】
（Ⅰ）∵e=，∴e2=，∴a2=2b2
∵直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切
∴=b，∴b=2，b2=4，∴a2=8，
∴椭圆C1的方程是（3分）
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为y2=8x（6分）

（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2）
联立及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0
所以x1+x2=，x1x2=
|AC|===．（8分）
由于直线BD的斜率为-，用-代换上式中的k可得|BD|=
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=|AC|•|BD|=..（10分）
由（1+2k2）（k2+2）≤[]2=[]2
所以S≥，当1+2k2=k2+2时，即k=±1时取等号．（11分）
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为（12分）