Question

如图，F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

Answer

（1）根据四边形OFPM是平行四边形，可知∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，根据双曲线定义可表示出|PM|，进而根据双曲线第二定义表示出离心率e，化简整理即可得到e和λ的关系是．
（2）当λ=1时，e=2，c=2a，b2=3a2，双曲线为，根据四边形OFPM是菱形，求的直线OP的斜率，进而可知直线AB的方程代入到双曲线方程，进而表示出|AB|求得a，则b可得，进而可求得双曲线方程．
【解析】
（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，
∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×，
又e=，e2-λe-2=0．

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b2=3a2，双曲线为=1且平行四边形OFPM是菱形，
由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为==，则直线AB的方程为y=（x-2a），代入到双曲线方程得：
4x2+20ax-29a2=0，又|AB|=12，
由|AB|=，
得：12=，
解得a=1，
则b2=3，
所以x2-=1为所求．