Question

已知函数f（x）=（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x₁=-1时，求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，，所以，．两边取倒数，得，由等差数列定义求解．
（Ⅱ）构造出一个常数列，即：当x≠a时，方程f（x）=x有解，即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）2-4（1-a）≥0求解．
（Ⅲ）用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，即：=a在R中无解．即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．则有求解，有解则存在，无解则不存在．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，
所以，xn+1=．
两边取倒数，得-1，
即=-1．又=-1，
所以数列{}是首项为-1，公差d=-1的等差数列．（3分）
故=-1+（n-1）•（-1）=-n，
所以xn=-，
即数列{xn}的通项公式为xn=-，n∈N*．（4分）
（Ⅱ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，（5分）
即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．
故方程不可能有解x=a．（7分）
由△=（1-a）2-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）假设存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，那么根据题意可知，=a在R中无解，（12分）
即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解，
因此解得a=-1．
故a=-1即为所求a的值．（14分）