Question

对于函数①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
命题乙：f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
命题丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③
D．②

Answer

要判断题目中给出的三个函数中，使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号，我们可将题目中的函数一一代入命题甲、乙、丙进行判断，只要有一个命题为假，即可排除，最好不难得到最终的答案．
【解析】
①若f（x）=lg（|x-2|+1）则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
②f（x）=（x-2）2则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；
但f（x+2）-f（x）=4x-4在（-∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真．
③若f（x）=cos（x+2），则：
f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；
f（x）在（-∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
故选D