Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．
（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有-a∉A，得到0∉A得到（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
（I）【解析】
集合{0，1，2，3}不具有性质P．
集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是
S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，，k）；
又因为当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，
所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，
即．
（III）【解析】
m=n，证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，根据定义，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，
且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立，
故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．