Question

已知0≤x＜2π，a为实常数，求函数f（x）=cos²x+2asinx-1的最大值．

Answer

因为cos2x=1-sin2x，用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题，按照对称轴在区间的左面、在区间内和在区间的右面三种情况讨论．
【解析】
f（x）=cos2x+2asinx-1=-sin2x+2asinx
令t=sinx，因为0≤x＜2π，所以-1≤t≤1且y=-t2+2at，其对称轴为t=a，
故a≤-1时，y=-t2+2at在[-1，1]上是减函数，最大值为-1-2a，
当-1＜a＜1时，当t=a时y有最大值a2，
当a≥1时，y=-t2+2at在[-1，1]上是增函数，最大值为-1+2a