Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

Answer

利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得A+B=判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．
【解析】
由，运用正弦定理，有，
∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．
因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=
由此可知△ABC是直角三角形
由c=10，，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．
如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，
切点分别为D，E，F，则
AD+DB+EC=（10+8+6）=12．
但上式中AD+DB=c=10，
所以内切圆半径r=EC=2，
如图建立坐标系，
则内切圆方程为：
（x-2）2+（y-2）2=4
设圆上动点P的坐标为（x，y），
则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2
=（x-8）2+y2+x2+（y-6）2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x．
因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，
S最大值=88-0=88，
S最小值=88-16=72