Question

已知抛物线y=x²-xcosθ+2sinθ-1（θ为参数）．
（1）求此抛物线在x轴上两截距的平方和与θ的函数关系f（θ）；
（2）求f（θ）的最小值和最大值．

Answer

（1）设x2-xcosθ+2sinθ-1=0的两根为x1，x2，由题意知f（θ）=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=cos2θ-4sinθ+2=-（sinθ+2）2+7．
（2）由f（θ）=-（sinθ+2）2+7，-1≤sinθ≤1，知当sinθ=-1时，f（θ）max=-1+7=6；当sinθ=1时，f（θ）min=-9+7=-2．
【解析】
（1）设x2-xcosθ+2sinθ-1=0的两根为x1，x2，
则x1+x2=cosθ，x1x2=2sinθ-1，
由题意知f（θ）=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=cos2θ-4sinθ+2
=-（sinθ+2）2+7．
（2）∵f（θ）=-（sinθ+2）2+7，-1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=-1时，f（θ）max=-1+7=6；当sinθ=1时，f（θ）min=-9+7=-2．
故f（θ）的最小值是-2，最大值是6．