Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面积S的最大值．

Answer

利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c2-（a-b）2后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后根据a+b=2，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．
【解析】
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及面积公式S=absinC代入条件得
S=c2-（a-b）2=a2+b2-2abcosC-（a-b）2，即absinC=2ab（1-cosC），
∴=，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）2+（4k）2=cos2C+sin2C=1，得k=，
∴sinC=4k=
∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=absinC=ab≤•=，当且仅当a=b=1时，Smax=