Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n=pn²+2n（n∈N^*）．
（I）求p的值及a_n；
（II）若，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使成立的最小正整数n的值．

Answer

（I）法一：由“等差数列{an}和前n项和Sn=pn2+2n”，根据等差数列的求和公式，应用对应系数相等的方法求得p的值，令n=1求得a1，进而求得an；
法二：由Sn=pn2+2n，分别令n=1，2，求得a1，a2，再根据等差数列的定义求得p，an
法三：由Sn=pn2+2n，根据，求得an，再根据等差数列的定义求得p；
（II）由（I）求得的an求出bn，利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn，解不等式求得最小的正整数n．
【解析】
（I）（法一）∵{an}的等差数列∴
又由已知Sn=pn2+2n，
∴p=1，a1-1=2，
∴a1=3，
∴an=a1（n-1）d=2n+1    
∴p=1，an=2n+1；
（法二）由已知a1=S1=p+2，S2=4p+4，即a1+a2=4p+4，
∴a2=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴a2-a1=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a1=p+2=3，
∴an=a1+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，an=2n+1；
（法三）由已知a1=S1=p+2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p（n-1）2+2（n-1）]=2pn-p+2
∴a2=3p+2，
由已知a2-a1=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a1=p+2=3，
∴an=a1+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，an=2n+1；
（II）由（I）知
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==
∵
∴，解得   又∵n∈N+
∴n=5