Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点．
（I）求证：OD∥平面ABC；
（II）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；
（III）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer

（I）取AC中点F，连接OF、FB，可证四边形BDOF是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（II）以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，
设面ODM的法向量，则直线CD和平面ODM所成角为θ，从而求解．
（III）取EM中点N，连接ON、CM，因为AC=BC，M为AB中点，可得CM⊥AB，证明ON∥CM即可求解．
【解析】
（I）证明：取AC中点F，连接OF、FB（1分）
∵F是AC中点，O为CE中点，∴OF∥EA且OF=，又BD∥AE且BD=
∴F∥DB，OF=DB
∴四边形BDOF是平行四边形（2分）
∴OD∥FB（3分）
又∵FB⊂平面MEG，OD⊄平面MEG
∴OD面ABC．（4分）
（II）∵DB⊥面ABC，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC，（5分）
如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系
∵AC=BC=4
∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2）
E（4，0，4）
∴（6分）
设面ODM的法向量，则由可得令x=2，
得：（7分）
设直线CD和平面ODM所成角为θ．
则：
∴直线CD和平面ODM所成角正弦值为（8分）
（III）方法一：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（9分）
证明：取EM中点N，连接ON、CM，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM⊂面ABC，
∴CM⊥AB，
∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．（13分）
方法二当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（9分）
∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC．
如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）D（0，4，2），E（4，0，4）
∴O（2，0，2），M（2，2，0），设N（a，b，c），
∴，（10分）
∵点N在ME上，∴，即（a-2，b-2，c）=λ（4-a，-b，4-c）
∴
∴（11分）
∵是面ABC的一个法向量，
∴，∴，解得λ=1．（12分）
∴即N是线段EM的中点，
∴当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（13分）