Question

已知函数．
（I）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（II）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同实数解，求实数a的取值范围；
（III）已知实数x₁，x₂∈（0，1]，且x₁+x₂=1．若不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，求实数p的最小值．

Answer

（1）f（x）为分段函数，当x＞2时，f（x）=f（2）=，此时，不是单调函数，当0≤x≤2时，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别得到单调递增区间、单调递减区间．
（2）f（x）-a=0恰有两个不同实数解，等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有两个交点，根据f（x）的单调性，画出图象，很容易得到a的取值范围．
（3）由已知，不等式f（x1）•f（x2）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，只需f（x1）•f（x2）的最大值小于x-ln（x-p）的最小值．接下来利用导数、均值不等式求出f（x1）•f（x2）的最大值；利用导数求最值的方法求x-ln（x-p）的最小值．
【解析】
（1）当x＞2时，f（x）=f（2）=是常数，不是单调函数；
当0≤x≤2时，f（x）=，∴=-
当f′（x）＜0，即x＞-1或x＜--1时，f（x）为减函数；
当f′（x）＞0，即--1＜x＜-1时，f（x）为增函数．
∴函数f（x）的单调递减区间为（-1，2]；
单调递增区间为[0，-1）

（2）由（1）知，
方程f（x）-a=0恰有两个实数解，等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有两个交点，
所以得到a的取值范围，
（3）f（x1）•f（x2）=
=
=
=
令t=x1x2，∵（x1=x2=时取等号）∴
∴
令，
∴f（x1）•f（x2）==，
∵上单调递减，
∴，
∴．
设h（x）=x-ln（x-p），则h′（x）=1-，x＞p，
令h′（x）=0，得x=p+1，当h′（x）＜0，
即p＜x＜p+1时，h（x）单调递减；
当h′（x）＞0，即x＞p+1时，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（p+1）=p+1．
要使不等式f（x1）•f（x2）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立只需f（x1）•f（x2）的最大值小于p+1，
即≤p+1，得p≥，
∴p的最小值为．